Под расчетной схемой к задаче в дальнейшем мы будем понимать: схематическое изображение тела (или системы тел), равновесие которого рассматривается в задаче, с действующими на тело заданными (активными) силами и силами реакций наложенных на тело связей, с введенной для решения задачи системой координатных осей, со всеми необходимыми данными о геометрических размерах и углах, которые должны быть либо известны, либо определены для решения задачи.
Грамотная и четкая расчетная схема - это первое и всегда необходимое условие успешного решения любой задачи и..... не только в механике.
При составлении расчетной схемы необходимо быть предельно внимательным и аккуратным - внимательным при изучении условия и чертежа к задаче, при нанесении на расчетную схему заданных сил, сил реакций связей и.... аккуратным при оформлении расчетной схемы.
На этом этапе решения для быстрого составления расчетной схемы к задаче необходимо отлично знать условные обозначения типов связей и реакции этих связей (то есть плакат 4с ), уметь заменять любые распределенные нагрузки сосредоточенными силами, уметь определять положение центра тяжести любого тела.
Среди заданных сил в задачах могут быть: сосредоточенные наг рузки , изображенные на чертежах к задачам в виде векторов сил; веса элементов конструкций; распределенные нагрузки с заданной интенсивностью. Еще в задачах на тело или систему тел могут действовать заданные пары сил. Они обычно задаются величиной момента и направлением вращения. Точки приложения сосредоточенных нагрузок всегда указываются в условии к задаче. Точки приложения сил тяжести, как правило, не указываются. Считается, что каждый, решающий задачу, приложит эту силу в центре тяжести рассматриваемого тела.
На распределенных нагрузках необходимо остановиться более подробно. Различают нагрузки, распределенные по некоторой площади, и нагрузки, распределенные по некоторой длине. К первым относят силы ветрового давления на стены зданий, снеговую нагрузку на плиты перекрытия зданий, давление жидкостей на стенки резервуаров, плотин и т.д.. Характеризуется эта нагрузка интенсивностью (р), измеряемой в единицах давления - т.е. в Н/м 2 . При равномерной нагрузке на единицу площади величина равнодействующей силы, которой заменяют эту нагрузку, определяется произведением интенсивности нагрузки на площадь поверхности, находящуюся под нагрузкой.
В задачах статики обычно рассматриваются нагрузки, распределенные по некоторой длине. Величина равнодействующей силы, которой заменяют нагрузку, в данном случае зависит от длины участка, на котором действует нагрузка, и от характера распределения нагрузки. Характеризуется такая нагрузка также интенсивностью, но измеряемой в ньютонах на единицу длины - то есть, в Н/м. Обозначается, как правило, символом q. На действие распределенных по длине нагрузок рассчитываются балки и конструкции самого различного назначения.
Графическое изображение изменения интенсивности нагрузки по длине балки в механике и сопротивлении материалов принято называть эпюрой распределения нагрузки. Для рассмотренных случаев по эпюре распределения нагрузки величину сосредоточенной силы, заменяющей нагрузку, и положение линии действия силы определяют в соответствии с простым правилом.
ВЕЛИЧИНА СИЛЫ РАВНА ПЛОЩАДИ ЭПЮРЫ, ИЗОБРАЖАЮЩЕЙ НАГРУЗКУ.
ЛИНИЯ ДЕЙСТВИЯ СИЛЫ ПРОХОДИТ ЧЕРЕЗ ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ ПЛОЩАДИ ЭПЮРЫ.
Кроме заданных сил на расчетной схеме изображаются силы реакций наложенных на тело (систему тел) связей.
Очень коротко о связях
было сказано в главе 1. Здесь же на типах связей и их реакциях
необходимо остановиться более подробно. Взглянем сначала на плакат
4с, который автор предлагает, желающим научиться решать задачи
статики, запомнить на оценку «Отлично». И, как минимум, на четыре
года последующей учебы в вузе.
1. Гладкая поверхность - поверхность, при определении реакции которой силами трения можно пренебречь. Вектор реакции гладкой поверхности приложен в точке касания тела с поверхностью и направлен по нормали к поверхности - т.е. перпендикулярно плоскости, касательной к данной поверхности.
Разновидностью рассматриваемого типа связи является опора тела на уступ или острие - т.е. точечную опору. Гладкой в этом случае считается поверхность самого тела. Вектор реакции направляется по нормали к поверхности тела.
2. Шероховатая (негладкая) поверхность - поверхность, где по условию задачи силами трения пренебречь нельзя. Шероховатость поверхности в данном случае специально оговаривается в условии задачи.
Реакция шероховатой поверхности отличается от реакции гладкой поверхности тем, что эта реакция изображается в виде совокупности двух сил - нормальной реакции поверхности и силы трения в плоскости касания тел. Сила трения направляется в сторону, противоположную возможному перемещению тела по поверхности.
Величина f (коэффициента трения) либо задается в задаче, либо является искомой величиной. В связи с тем, что сила трения по вышеприведенной формуле определяется только при достижении силой трения ее максимального значения , в задачах с трением тела
рассматриваются В ПОЛОЖЕНИИ ПРЕДЕЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ!
3.
Невесомый стержень
с идеальными шарнирами на концах -
идеализированная связь в виде прямолинейного или
криволинейного тела, имеющего вид стержня, с шарнирами
в точках его крепления к другим телам и с весом,
величиной которого при решении рассматриваемой задачи можно
пренебречь.
Считается, что в идеальных шарнирах, соединяющих стержень с другими телами, отсутствует трение.
Стержень может быть или сжат, или растянут. При растянутом стержне сила, с которой прямолинейный стержень действует на тело, направлена вдоль стержня от тела, к которому крепится стержень. При сжатом стержне сила его реакции направлена к точке крепления.
Характер напряжения в стержне обычно неизвестен. Поэтому вектор реакции стержня принято направлять от узла его крепления к телу, считая стержень растянутым. Если при расчете усилия в стержне его значение получается положительным, то стержень действительно растянут.
Если при расчете усилие в стержне получилось отрицательным, то стержень сжат.
Определять характер напряжения с помощью знаков (-) - сжат, (+) - растянут удобно и просто.
Эта условность в обозначении характера напряжений используется далее также и
при решении задач дисциплины “Сопротивление материалов”.
В некоторых задачах встречаются криволинейные невесомые стержни. Реакции таких стержней направляются вдоль линии, соединяющей оси шарниров. Это следует из условия равновесия твердого тела под действием системы из двух сил, приложенных в шарнирах.
4. Гибкая нить - связь, у которой много и других наименований - трос, канат, веревка, цепь и т.д.
Нить, как связь, может работать только тогда, когда она натянута. При отбрасывании нити вектор реакции нити изображают приложенным в точке, где нить привязана к телу, равновесие которого рассматривается, и направляют вдоль нити.
Часто встречается случай, когда тело удерживается нитью, переброшенной через идеальный блок с некоторым грузом на конце. Так как идеальным считается блок, который может вращаться на оси без трения, то натяжение нити в точке ее крепления к телу считается равным весу груза на конце нити.
Чтобы не вводить новых обозначений, рекомендуется натяжение нити в этом случае обозначать тем же символом, что и вес груза на конце нити.
5. Шарнирно-подвижная опора - опора, позволяющая точке тела, которая связана с опорой, перемещаться без трения вдоль какой-либо поверхности. Реакция подвижной опоры направляется по нормали к поверхности, вдоль которой может перемещаться опора.
При определенном конструктивном выполнении подвижная опора может препятствовать перемещению точки крепления тела в двух взаимно-противоположных направлениях. Следовательно, результат определения величины реакции опоры, как и в случае со стержнем, может быть как положительным, так и отрицательным.
6. Шарнирно-неподвижная опора или цилиндрический шарнир - связь, не позволяющая точке тела, скрепленной с такой опорой, перемещаться в плоскости, перпендикулярной оси вращения шарнира, но позволяющая телу при отсутствии других связей поворачиваться относительно этой оси. Условно подразумевается, что в шарнире отсутствует трение.
Конструктивное выполнение опор, условно обозначаемых названием “шарнирно-неподвижная опора” (а это могут быть и подшипники скольжения, и подшипники качения, и просто пальцевые соединения), может быть различным.
Реакцией опоры является равнодействующая сил, действующих со стороны закрепленной неподвижно части опоры, на связанное с этой опорой и рассматриваемое в положении равновесия тело.
Сила реакции шарнирно-неподвижной опоры расположена в плоскости, перпендикулярной оси вращения шарнира; проходит через центр шарнира; неизвестна ни по величине, ни по направлению.
Определяют эту силу при решении задач, находя еЁ проекции на оси координат.
На чертеже к задаче эти проекции
изображают в виде векторов
(компонент или составляющих силы) с соответствующими
обозначениями.
Необходимо обратить внимание на то, что на чертежах к задачам возможны различные виды условных обозначений рассматриваемой связи. Основные виды условных обозначений шарнирно-неподвижных опор в задачах на ПСС и в задачах на ППСС приведены на рисунке и на плакате.
7. Шаровая опора или сферический шарнир
- связь, не
позволяющая одной из точек тела перемещаться ни в одном из
направлений, а позволяющая телу поворачиваться в определенных
пределах относительно любой из координатных осей, проходящих через
эту точку. 
Схематичное конструктивное выполнение такой опоры, ее условное обозначение и реакции приведены на рисунке.
Реакция опоры - неизвестная по величине и направлению в пространстве сила. Ее компоненты по осям координат и являются искомыми величинами.
Условные изображения сферических шарниров на чертежах к задачам и расчетных схемах такие же, как у цилиндрических в задачах на ПСС. Это не должно вводить в заблуждение. Сферические шарниры встречаются в задачах только на ППСС, где условные изображения цилиндрических шарниров являются иными.
8. Подпятник - связь, являющаяся комбинацией цилиндрического шарнира и опорной плоскости. Встречается в задачах на ППСС. Другой опорой тела, имеющего такую связь, является, как правило, цилиндрический шарнир.
Неизвестная по величине и направлению реакция подпятника, как и у сферического шарнира, определяется по ее составляющим, направленным вдоль трех координатных осей.
На рисунке приведены условное изображение подпятника и один из вариантов его конструктивного выполнения.
9. Защемляющая опора
, называемая также
жесткой заделкой
- условное
название связи, препятствующей заделанному телу перемещаться в любом
из направлений и поворачиваться относительно любой из координатных
осей. Примерами защемляющих опор являются: заделанные в стену
дома плиты подоконников или балконов, кронштейны для крепления труб
и батарей отопления, обычные вбитые в стену гвозди и так далее.
Необходимо отметить, что кроме жесткой заделки может встретиться и скользящая заделка - связь, не позволяющая закрепленному телу поворачиваться относительно точки закрепления и перемещаться лишь в одном из направлений. Реакции такого варианта связи показаны на рисунке в варианте б).
Запомнить для себя типы связей и их реакции лучше в виде некоторой таблицы, аналогичной приведенной на плакате 4с. Но если Вы сомневаетесь в определении направлении сил реакций той или иной связи на расчетной схеме к задаче, то направить эти реакции правильно Вам поможет знание следующих правил:
1. ЕСЛИ СВЯЗЬ ПРЕПЯТСТВУЕТ ПЕРЕМЕЩЕНИЮ РАССМАТРИВАЕМОЙ ТОЧКИ ТЕЛА ТОЛЬКО В ОДНОМ НАПРАВЛЕНИИ, ТО СИЛА РЕАКЦИИ СВЯЗИ НАПРАВЛЕНА ПРОТИВОПОЛОЖНО ЭТОМУ НАПРАВЛЕНИЮ.
2. ЕСЛИ СВЯЗЬ ПРЕПЯТСТВУЕТ ПЕРЕМЕЩЕНИЮ РАССМАТРИВАЕМОЙ ТОЧКИ В ДВУХ (ТРЕХ) ВЗАИМНО-ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ НАПРАВЛЕНИЯХ, ТО РЕАКЦИЯМИ СВЯЗИ ЯВЛЯЮТСЯ ДВЕ (ТРИ) НЕИЗВЕСТНЫЕ СИЛЫ - СОСТАВЛЯЮЩИЕ ПОЛНОЙ РЕАКЦИИ ЭТОЙ СВЯЗИ ПО КООРДИНАТНЫМ ОСЯМ.
После изображения на чертеже к задаче заданных сосредоточенных сил, моментов пар сил; после замены действия распределенных нагрузок эквивалентными им по действию сосредоточенными силами и действия связей силами их реакций чертеж к задаче превращается в расчетную схему к задаче . Этот чертеж и схема могут либо помогать решать задачу, либо при небрежном отношении к чертежу просто провоцировать на ошибки.
Чтобы Ваши чертежи помогали решать задачи, необходимо знать следующее:
1. Никогда не следует экономить времени на оформлении чертежа (расчетной схемы) к решаемой задаче. Чем яснее чертеж, тем Вы быстрее решите задачу и с меньшей вероятностью ошибки.
2. Целесообразно расчетную схему выполнять непосредственно на чертеже к задаче (см. плакат 12с). Чертеж к задаче должен быть достаточно крупным, чтобы легко читались все заданные размеры, хорошо были видны углы, образуемые векторами сил или линиями чертежа с осями координат.
3. Очень важно, чтобы все векторы сил, стрелки моментов пар сил четко выделялись на фоне чертежа. “Плохо” выделенный вектор легко пропустить при составлении уравнений равновесия. Это влечет за собой и неверное решение задачи, и потери времени на поиск ошибки. Чертеж лучше рисовать карандашом, а векторы - чернилами.
4. Важно, чтобы зрительная пропорциональность размеров на чертеже соответствовала заданной в условии задачи.
Еще более важно, чтобы углы, которые образуют силы или линии чертежа с теми или иными осями координат, соответствовали заданным.
Углы в 30 0 , 45 0 , 60 0 и 90 0 желательно научиться рисовать достаточно точно от руки.
На рис. 1.21 изображена горизонтальная балка, опирающаяся на шарнирно-подвижную и неподвижную опоры в точках А и В.
Реакция R A шарнирно-подвижной опоры направлена по нормали к опорной поверхности в сторону балки. Шарнирно-подвижная опора поставлена на катки, которые не препятствуют перемещению балки вдоль опорной поверхности. Если не учитывать трения катков, то линия действия реакции R A проходит через центр шарнира перпендикулярно опорной поверхности.
Шарнирно-неподвижная опора препятствует поступательным перемещениям балки вдоль координатных осей, но дает ей возможность поворачиваться относительно оси шарнира. Линия действия реакции R B шарнирно-неподвижной опоры проходит через центр шарнира, но модуль и направление реакции заранее неизвестны.
На рис. 1.22 изображена балка АВ. По аксиоме параллелограмма сил, которая допускает обратное толкование, реакцию R В можно разложить на составляющие, параллельные координатным осям.
С
Более сложные виды связей и их реакции рассматриваются позднее, когда будут введены понятия пары сил и моментов сил относительно точки и оси .
Аксиома связей – всякое несвободное тело можно рассматривать как свободное, если отбросить связи и заменить их действие реакциями этих связей.
На рис. 1.23 изображена балка АВ, рассматриваемая как несвободная механическая система, на которую наложены внешние связи.
Шарнирно-неподвижная опора в точке В не позволяет балке перемещаться поступательно параллельно координатным осям и позволяет поворачиваться в плоскости рисунка. Исходя из этого, реакцию R В раскладывают на её составляющие Y В, Z В, параллельные координатным осям.
Шарнирно-подвижная опора в точке А не позволяет балке совершить перемещение на опорную поверхность, поэтому её реакция R А направлена по нормали.
В
Балка АВ находится в равновесии под действием активных сил F 1 , F 2 и реакцийZ B , Y B , R A внешних связей. Реакцию R A целесообразно разложить на составляющие силы по координатным осям.
Необходимо еще раз подчеркнуть, что разложение силы на составляющие силы производится только в точке приложения силы.
Вопросы и задания для самоконтроля
«несвободное тело» .
Сформулировать определение термина «связи» .
Сформулировать определение термина «реакции связей» .
Сформулировать определение термина «гладкая связь» .
Сформулировать определение термина «гибкая связь» .
Сформулировать определение термина «невесомый стержень» .
Сформулировать определение термина «свободное тело» .
Сформулировать аксиому связей .
Шарниром называется устройство, связывающее тела и позволяющее совершать вращение одного тела относительно другого.
Цилиндрический шарнир допускает вращение тел вокруг одной оси (и скольжение вдоль нее).
Шарнирно-неподвижная опора препятствует любому поступательному движению, но дает возможность свободно вращаться вокруг оси шарнира.
Реакция шарнирно-неподвижной опоры проходит через центр шарнира О и лежит в плоскости перпендикулярной к оси шарнира, но ее модуль и направление неизвестны.
Условные обозначения:
Рис.1.10
Шарнирно-подвижная опора (шарнирно-неподвижная опора поставленная на катки) не препятствует перемещению параллельно опорной поверхности. Если не учитывать трения катков, то линия действия реакции такой опоры проходит через центр шарнира перпендикулярно опорной поверхности. Неизвестен только модуль этой реакции.
Условные обозначения:
Шаровой шарнир. Шаровым шарниром называется устройство, позволяющее сочлененным телам, имеющим общую точку сочленения, совершать вращение в пространстве относительно друг друга вокруг общей точки. Шаровой шарнир состоит из сферической чаши, находящейся на одном теле, и сферического выступа того же диаметра на другом. Реакция в шаровом шарнире может иметь любое направление в пространстве.
Жесткая заделка.
В случае заделки одного тела в другое реакция связи состоит из силы и пары сил с моментом . Величина и направление реакции определяется из общих уравнений равновесия твердого тела.
1.5. Пример. На невесомую трехшарнирную арку действует горизонтальная сила . Определить линию действия реакции (реакции связи в точке А).
Решение: Рассмотрим правую часть арки отдельно. В точках В и С приложим силы реакции связей и . Тело под действием двух сил находится в равновесии. Согласно аксиоме о равновесии двух сил, силы и равны по величине и действуют вдоль одной прямой в противоположные стороны. Таким образом направление силы нам известно (вдоль линии ВС).
Рис.1.13
Рассмотрим левую часть арки отдельно. В точках А и С приложим силы реакции связей и . Сила , действие равно противодействию. На тело действуют три силы, направления двух сил (и .) известно. Согласно теореме о трех силах линии действия всех трех сил пресекаются в одной точке. Следовательно, сила направлена вдоль линии AD.
1.6. Пример. Однородный стержень закреплен шарнирно в точке А и опирается на гладкий цилиндр. Определить линию действия реакции (реакции связи в точке А).
Слушатели курса "Расчет строительных конструкций - с нуля! ", который я веду в проекте Dystlab Education, периодически просят меня объяснить им такие понятия, как "шарнир", "шарнирная опора". Видимо, понимание этих важных, с точки зрения работы сооружения, элементов вызывает у начинающих проектантов некоторые трудности.
Различные словари и вики определяют шарнир как "вращательную кинематическую пару", что терминологически больше относится к машиностроению (элементам машин и механизмов), нежели к строительным конструкциям, хотя принцип действия шарнира везде одинаковый. Шарнир - устройство, которое соединяет два элемента таким образом, чтобы они могли вращаться относительно одной точки или оси.
Различные схемы применения шарниров продемонстрированы в следующих видео. В первом видео, шарниры применяются для оконных и дверных систем, во втором - для гиростабилизации камеры (используется не один, а несколько шарниров):
Видео 1. Примеры шарнирных петель
Видео 2. Шарниры в составе сложного механизма
Из этих роликов должна стать понятной сама концепция: шарнир нужен там, где не требуется жестко фиксировать элемент, а нужно дать ему возможность вращаться.
Шарниры в строительных конструкциях
В зданиях и сооружениях шарниры применяются, как правило, в наиболее ответственных узлах - опорах. Иногда шарниры внедряют в какую-то "внутреннюю" часть конструкции:
Опорная часть пролетного строения моста
Крепление каната на временных опорах - тоже шарнирное
Шарнир как часть несущей конструкции в здании гражданского назначения
Пешеходный мост, реализованный по схеме "трехшарнирная арка" (редкая конструкция!)
Шарнирная опора аттракциона "колесо обозрения"
Шарниры в расчетных схемах
Так или иначе, проектирование конструкции начинается с разработки ее расчетной схемы . Рассмотрим несколько примеров простейших расчетных схем:
Рисунок 1. Примеры расчетных схем с шарнирными опорами
Удивляет вас это или нет, но на всех трех схемах изображен один и тот же тип опирания конструкции - шарнирное. Обратите внимание, что левая опора в каждой схеме "повернута" на какой-то угол. Это сделано лишь с целью подчеркнуть, что сейчас мы работаем не с реальной конструкцией, а с её виртуальным аналогом, упрощенной моделью (расчетной схемой). А на расчетной схеме важно отметить только те особенности, которые принципиально влияют на работу конструкции: в данном случае это два опорных стержня, которыми конструкция крепится к земле.
Вот еще пример расчетной схемы, взятый из пояснительной записки проекта путепровода 1905 года:
Рисунок 2. Шарнирно-опертая балка, проект 1905 г.
Справа (фиг. 8, рис. 2) показана простая балка на двух опорах, а черными треугольниками показаны шарнирно-подвижная и шарнирно-неподвижная опоры (правда, сложно узнать где какая, но это уже вопрос к авторам проекта, инженерам Е. О. Патону и П. Я. Каменцеву). Как видим, единого правильного варианта в обозначении шарнирной опоры нет, и как этот элемент показывать на схемах - решать вам.
Что означает кружок
Как легко убедиться, на схемах шарнир символизирует маленький кружок. Вокруг этого центра происходит вращение опорного сечения конструкции:
Рисунок 3. Сечения конструкции A, B вращаются при изгибе вокруг шарнирных опор
Перемещения и реакции
Шарнир допускает вращение сечения вокруг своего центра. Поскольку в этой точке разрешены угловые перемещения, то соответствующий опорный момент отсутствует. В этом состоит основное назначение шарнира в строительной конструкции - обнулять моменты, появляющиеся в процессе изгиба:
Рисунок 4. Жесткое защемление (1) и шарнирное опирание (2) балки
В чем разница между подвижной и неподвижной опорами?
Вы наверняка обратили внимание, что на рисунках 1, 3, 4 балки лежат на разных опорах: слева опора нарисована тремя кружка ми и двумя соединительными линиями, а справа - двумя кружка ми и одной линией. Почему так?
Каждая соединительная линия (короткий отрезок в изображении опоры) моделирует крепление данного узла к земле, поэтому линейные перемещения балки в этом направлении запрещены. Так, балка не может прогибаться вниз в опорных сечениях; и в начале, и в конце конструкции нарисованы вертикальные или наклонные стержни, поддерживающие балку. Напомню, что наклонную конструкцию всегда можно спроецировать на взаимно перпендикулярные оси (вертикальную и горизонтальную), поэтому схема 2 на рисунке 1 принципиально не отличается от остальных.
Важно также понимать назначение единственного горизонтального опорного стержня. Он запрещает горизонтальное перемещение балки (в направлении продольной оси), но только того сечения, в котором он установлен. Это классическая шарнирно-неподвижная опора:
Рисунок 5. Какие перемещения запрещают и разрешают шарнирные опоры
На рисунке 5 правая опора называется шарнирно-подвижной, так как допускает смещение правого конца балки в горизонтальном направлении. Это важное обстоятельство для учета удлинений и укорочений конструкции вследствие, например, температурных колебаний.
Выводы
Шарнир является важным элементом конструкции: он позволяет сечениям, которые к нему прикреплены, вращаться вокруг оси шарнира. Шарнир обнуляет опорные моменты.
На расчетной схеме шарнир показывают, как правило, кружком. Шарнирно-подвижная и шарнирно-неподвижная опоры являются одним из самых распространенных типов опирания балочных систем. Обе они имеют шарниры и допускают поворот опорного сечения, а шарнирно-подвижная опора допускает также горизонтальные перемещения соответствующего конца балки.
Принято говорить, что опоры крепятся "к земле", однако не следует понимать это буквально. Нередко "землей" служит другой элемент конструкции, большей жесткости.
